περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί

Δεκαδικό είναι ένα κλάσμα όταν στον παρονομαστή του έχει μια δύναμη του 10. Επειδή το 10 είναι το γινόμενο των πρώτων παραγόντων 2 και 5, φαίνεται εύκολα ότι ένα κλάσμα με μ και ν πρώτους προς αλλήλους, μπορεί να γραφεί ως δεκαδικό μόνο όταν ο παρονομαστής του μ είναι γινόμενο των παραγόντων ίσων προς 2 ή προς 5. Σε διαφορετική περίπτωση, η κανονική δεκαδική διαίρεση δεν έχει ποτέ τέλος: από ένα σημείο και πέρα, τα δεκαδικά ψηφία επαναλαμβάνονται περιοδικά, επανέρχονται συνεχώς κατά ομάδες πάντα ίσες μεταξύ τους και με την αυτή τάξη (όπως στην απλούστατη περίπτωση : η επιγράμμιση δείχνει ότι μια ομάδα αριθμών επαναλαμβάνεται συνεχώς). Ονομάζουμε τότε περιοδικό έναν δεκαδικό αριθμό άπειρων ψηφίων, τα οποία ύστερα από κάποιο σημείο επαναλαμβάνονται σταθερά με την αυτή τάξη· η ομάδα των ψηφίων που επαναλαμβάνονται άπειρες φορές λέγεται περίοδος, ενώ τα δεκαδικά ψηφία τα οποία προηγούνται ονομάζονται αντιπερίοδοι. Κάθε δεκαδικός περιοδικός αριθμός είναι ίσος προς ένα κλάσμα (το οποίο προέρχεται από το άθροισμα μιας συγκλίνουσας σειράς)· ο υπολογισμός του κλάσματος γίνεται ως εξής: αν ο περιοδικός αριθμός είναι απλός, δεν έχει δηλαδή αντιπερίοδο, το κλάσμα έχει παρονομαστή τον αριθμό που σχηματίζεται από τόσα 9 όσα είναι τα ψηφία της περιόδου και αριθμητή τον αριθμό που αποτελείται από το ακέραιο μέρος, αν έχει, και από μια περίοδο, από τον οποίο αφαιρούμε το ακέραιο μέρος (π.χ. ο (,3333...), δηλαδή χωρίς ακέραιο μέρος και περίοδο 3, ισούται με . Αν ο δεκαδικός αριθμός έχει αντιπερίοδο (μεικτός περιοδικός αριθμός), ο παρονομαστής αποτελείται από τόσα 9 όσα είναι τα ψηφία της περιόδου, ακολουθούμενος από τόσα Ο όσα είναι τα ψηφία της αντιπεριόδου, ενώ στον αριθμητή γράφεται ο αριθμός που σχηματίζεται από το ακέραιο μέρος, την αντιπερίοδο και την περίοδο (χωρίς την υποδιαστολή) από τον οποίο αφαιρείται ο αριθμός με τα ψηφία του ακεραίου και της αντιπεριόδου. Δηλαδή, ο 2,43535 ... ή (η περίοδος είναι 35, η αντιπερίοδος 4 και το ακέραιο μέρος 2) ισούται με το κλάσμα: Ομοίως: